PROJETO DE INTERVENÇÃO
O MÉTODO DA TABUADA DINAMIZADA COMO INSTRUMENTO
DE ANÁLISE E DE DESENVOVIMENTO DO RACIOCÍNIO LGICO MATEMÁTICO.
Ojr. Bentes
JUSTIFICATIVA
A Baixa racionalidade dos alunos.
A atividade de intervenção se justifica pelo desempenho das
escolas do Brasil em 2014 que piorou em Matemática em relação ao resultado de
2013. O nosso IDEB está muito a baixo do desejado. O IDEB (Índice de
Desenvolvimento da Educação Básica) do Pará de 4ª série/ 5º ano caiu de 4.0 em
2011 para 3,6 em 2013, de 8ª/ 9º ano caiu de 3,1 para 3,0, no 3º ano do médio
de 3,0 para 2,7. O IDEB da Escola Frei Othmar caiu de 3,7 em 2011 para 3,3 em
2013.
“O
nível da Educação do Pará conseguiu superar o que já era ruim: foi o pior
desempenho do Índice de Desenvolvimento da Educação Básica (Ideb) entre os 27
estados brasileiros mais o Distrito Federal. A soma das notas dos alunos do
ensino médio da rede pública estadual com os das escolas privadas foi de 2,9
(as notas do Ideb vão até 5,0), a mais baixa do Brasil. Se consideramos apenas
as escolas estaduais de ensino médio, a nota do Pará caiu de 2,8 em 2011 para
2,7 no ano passado. O resultado mostra que o ensino público na rede do Estado
do Pará piorou em comparação a 2011, quando o resultado do Ideb para este
período foi de 2,8.
Considerando apenas a rede estadual de ensino,
os índices da meta do ciclo inicial do ensino fundamental (de 1º ao 5º ano) e
do ciclo final do ensino fundamental (6º ao 9º ano) também tiveram registros
menores do que as notas alcançadas 2011. Para o primeiro ciclo do fundamental,
a meta projetada pelo MEC era de 3,8 pontos e o Ideb fechou em 3,6 em 2013. Em
2011, o índice atingiu 4,0. No comparativo do segundo ciclo do fundamental, a
meta projetada era de 4,0, mas o índice ficou em 3,0. Em 2011, o índice fechou
em 3,1... Com a consolidação dos resultados e o julgamento dos recursos, a
divulgação do Ideb mostrou que o Pará registrou o pior Índice de
Desenvolvimento da Educação Básica (Ideb) da região Norte no ensino médio de
escolas estaduais em 2013. Em relação aos outros estados da região Norte, o
Pará ficou abaixo de Rondônia (3,4), Acre (3,3), Roraima (3,2), Tocantins
(3,2), Amazonas (3,0) e Amapá (2,9).
As escolas da rede estadual de ensino
também fizeram feio nos municípios paraenses. Só atingiram a meta do Ideb em
2013 no ciclo inicial das escolas em poucos municípios como: Aurora do Pará,
Juruti, Rio Maria, Santa Maria das Barreiras, Santa Maria do Pará, Santarém e
Terra Alta (entre os 46 municípios que tiveram os dados divulgados pelo Inep).
O pior resultado foi de Curralinho, onde a nota dos alunos foi de 2,2.”. (rodapé
In: http://www.diarioonline.com.br/noticias/para/noticia-300544-para-tem-o-pior-ideb-de-todo-o-pais.html)
Esse projeto
se justifica pela dificuldade de raciocínio e concentração dos alunos quanto ao
aprendizado da tabuada e de situações problemas envolvendo a mesma. Também pelo
interesse de professores em desenvolver atividades pedagógicas na sala de
tecnologia, pois em uma segunda fase o projeto poderá ser desenvolvido no
laboratório de informática. Com essa metodologia, esperamos estimulá-los, de
maneira com que se interessem pelo conteúdo, e a música e o computador e toda
sua gama de possibilidades, são recursos ideais para que o sucesso aconteça.
PROBLEMA/PROBLEMATIZAÇÃO
A maioria dos estudantes das escolas públicas não
obtém conhecimento suficiente de matemática para cursar o Ensino Médio que
dificulta não apenas o progresso escolar, mas as chances profissionais, já que
cada vez mais é exigido do trabalhador conhecimento de matemática. O problema
se inicia fundamentalmente na não compreensão dos mecanismos da multiplicação
nas primeiras séries do ensino fundamental. É fácil perceber o problema, tente realizar o seguinte
exercício de regra de três: Um lavador de moto lava em duas horas sete motos.
Em oito horas, quantas motos ele lavará!? A maioria do meus alunos do ensino
médio da escola São Felipe não conseguiam nem armar a conta, mesmo eu
construindo a regra de três ele ficavam em dúvida de quanto era 8x7, por que
eles não haviam aprendido multiplicação. Fato!
Contra as expectativas dos representantes, dos professores e da sociedade científica de Matemática, a média dos alunos que fizeram a
prova nacional do 9.ª ano daquela disciplina baixou três pontos percentuais em
relação a 2014, de 51% para 48%, e passou a negativa. A Português, os
resultados melhoraram três pontos percentuais relativamente ao ano passado, com
a média a ficar a nos 58%.
Os
resultados de Matemática são surpreendentes, tendo
em conta as previsões feitas no dia do exame e as considerações feitas sobre o nível
de dificuldade da prova, quando ela se realizou. Isto tendo em conta que,
sabe-se agora, os alunos partiram, em média, com classificações internas
ligeiramente mais positivas este ano (3,1 em 5 valores) em relação ao ano
passado (3,0). Tanto a sociedade científica como a associação de
professores daquela disciplina tinham considerado que a prova havia sido mais
acessível do que a do ano anterior, que, por sua vez, já não fora difícil,
disseram. Mais: previram que as médias iriam subir, mas que isso não permitiria
concluir que as crianças sabiam mais.
A direção da Sociedade Portuguesa de
Matemática (SPM) chegou a referir que a prova era “realizável, em cerca de dois
terços da extensão, por um aluno do 8.º ano" e que não incorporava
qualquer questão que permitisse distinguir especificamente alunos de nível
5.Lurdes Figueiral, presidente da Associação de Professores de Matemática (APM),
considerou as questões da prova “pouco desafiantes e notou que alguns itens
"se referiam a conteúdos do 2.º ciclo, ou seja, do 5.º ano e do 6.º.
É
inegável a presença e o uso social das operações matemáticas elementares,
adição, subtração, multiplicação e divisão, em nossa vida cotidiana assim como
também é inegável que nem sempre utilizamos o cálculo escrito para resolver os
problemas diários que exigem os conhecimentos básicos das quatro operações. Na
verdade, se pararmos para pensar no número de vezes em que recorremos a essa
forma de cálculo veremos que, fora da escola, são raras às vezes em que colocamos
as “contas no papel”.
A
velocidade do nosso cotidiano e a urgência de certas atividades intelectuais
não nos permitem sempre ter caneta e papel na mão para “armar” e efetuar
operações; aliás, na grande maioria dessas atividades, isso nem seria
necessário se tivéssemos desenvolvido bem os mecanismo de cálculo que nos são
ensinados a partir das séries iniciais até a oitava série, com por exemplo as
operações da multiplicação e divisão e a regra de três (roda pé), que é o calo
do Ensino Médio, mecanismos que nos permitem resolver esses problemas
mentalmente de forma rápida e eficiente. Isto não seria teoricamente necessário
pois criamos máquinas para realizar estes cálculos, o que não é real pois
várias outras
atividades que não necessariamente intelectuais, prescindem de cálculo
matemático.
Muitos
professores ainda se questionam sobre a importância ou não, da memorização da
tabuada. Normalmente o que se decora acaba por cair esquecimento, como uma
quaro que foi colocado na sala, mas não foi bem fixado, portanto, há um
entendimento generalizado em dar prioridade à decoração da tabuada em
detrimento da sua memorização e de sua compreensão. A ideia que fica é que o
aluno, em qualquer altura, consegue construir a tabuada não havendo portanto, a
necessidade de a decorar. O decorar é apenas o estágio inicial, para ele passar
para o estágio seguinte ele precisa aprender e desenvolver os mecanismo do
cálculo, até que ele chegue no estágio da memorização, que permite dar um
resultado mais rápido. No entanto, em níveis de escolaridade mais avançada os
professores queixam-se dos alunos não saberem a tabuada. Por que este fato
ainda é verificável em alunos do terceiro ano médio? Por que isto acontece? Por
que esta situação impossibilita o desenvolvimento de outras técnicas de cálculo
e exploração de novos conceitos matemáticos como os de: razão, proporção,
função linear?!
A
Tabuada Dinamizada é um projeto de aplicação de um instrumento de avaliação
diagnóstica e não de teorização.
O
problema da Matemática no ensino médio, começa no ensino fundamental, com a
multiplicação. A não aprendizagem da tabuada interfere diretamente na
aprendizagem dos outros conteúdos como: Potência, Radiciação, Produto Notável,
e etc.
O
problema fundamental, a respeito da baixa racionalidade, no ensino médio está
na não aprendizagem da regra de três, que é o mecanismo básico da racionalidade
humana, que diferencia o pensamento infantil do pensamento adulto, se num
primeiro momento a criança a prende a descobrir a mentira, por outro lado ele
aprende a ludibriar o pensamento dos, principalmente dos amigos de escola, é o
que em Lógica chamamos de “falácias” que também envolve conhecimentos de Teoria
dos Conjuntos.
OBJETIVO GERAL
Verificar o nível de racionalidade de uma turma da
escola, e intervir aplicando, explicitando e desenvolvendo o método.
OBJETIVOS
ESPECÍFICOS
- Gerar
a expectativa e de uma repercussão positiva e interessante desta problemática
que se relaciona também com o baixo rendimento em outras disciplinas que
prescindem do conhecimento matemático. Apesar de o debate e uma efetiva
intervenção ainda serem incipiente. O entusiasmo dos participantes deve ser
tanto que fique evidente a importância desse intercâmbio de conhecimentos
- Estimular
o aluno a estudar a tabuada e a calculadora em sala de aula;
- Exercitar
técnicas de cálculo mental com números naturais;
- Resolver problemas que envolvam os vários
significados de cada uma das quatro operações, principalmente, a multiplicação.
- Desenvolver o raciocínio logico-matemático.
FUNDAMENTAÇÃO
TEÓRICA/REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Os Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática
(1997, p.55), apontam que o trabalho com as operações no ensino fundamental
deveria se concentrar
“[...] na compreensão dos
diferentes significados de cada uma delas, nas relações existentes entre elas e
no estudo reflexivo do cálculo, contemplando diferentes tipos – exato,
aproximado, mental e escrito. Do mesmo
modo, o Referencial Curricular Nacional para a Educação Infantil (1998, p.225)
destaca a importância da realização de cálculos mentais e estimativas,
definindo-os respectivamente como:
[...] um cálculo feito de
cabeça, rapidamente apoiado em certas regras e propriedades numéricas que
permitem fazer compensações, decomposições, contagem, redistribuição, etc.,
para escolha de caminhos mais cômodos e mais fáceis de calcular. (p.225).
[...] A estimativa pode ser
entendida como avaliação do resultado de uma determinada operação numérica ou
da medida de uma grandeza em função de circunstâncias individuais (intuições e
experiências próprias) do sujeito que estima. (p. 225).
No
entanto, a escola continua a desconsiderar essas formas de cálculo e o trabalho
pedagógico ainda é voltado para o ensino do algoritmo, ou seja, da conta armada
e para a memorização. Isto se explica pelo fato de que os professores das
séries iniciais não são licenciado em Matemática. As operações são apresentadas
como técnicas, procedimentos e ações irreflexivas que, quando aplicadas em
sequência e repetidamente, conduzem à resposta. Na maioria das vezes os alunos
memorizam essas técnicas sem atribuir significado algum, nem refletir sobre
qual o mecanismo utilizado ao que estão fazendo quando resolvem uma conta.
Se
pensarmos na teoria da construção do conhecimento lógico-matemático de Piaget,
para quem o conhecimento matemático é fruto de relações estabelecidas pelas
crianças num processo de ensino e aprendizagem baseado na autonomia, veremos
que a única forma de fazer com que os alunos confiem em seu próprio raciocínio,
é deixando-os pensar por si mesmos, eliminando a ideia de que o aluno é um
“recipiente” onde se depositam conteúdos e reafirmando o papel do mesmo como
produtor do próprio conhecimento.
Os
alunos precisam refletir sobre o que fizeram ou pensaram, construir esquemas
mais elaborados de pensamento, organizar mentalmente pensamentos e ações para
avançar com competência no processo de conhecimento. (MIGUEL, 2005, p.383).
Trabalhar
diferentes mecanismos de cálculo na tabuada de multiplicação não significa, de
forma alguma, que a criança não deva ser apresentada ao algoritmo tradicional
das operações, ao contrário, esse é um conhecimento valorizado socialmente e
representa o aspecto mais formal e sistematizado do conhecimento matemático. No
entanto, a introdução do algoritmo tradicional das operações não deve ser feito
simplesmente através de uma série de técnicas e procedimentos sem significado.
Ele deve ser resultado de um processo que se inicia no trabalho com as ideias
implícitas nas operações, ou seja, com os conceitos, através da
contextualização do conhecimento em situações diversas, da manipulação de
diversos materiais concretos, da criação de diversas estratégias de resolução e
do estabelecimento de relações.
Ressaltamos
ainda que a aprendizagem das operações acontece de maneira contínua. É
importante que o professor se atente ao fato de que trabalhar as operações
conjuntamente, de forma contextualizada, é uma forma de criar oportunidades
para que o aluno possa aplicar os conhecimentos que está construindo,
desenvolvendo ainda mais seu raciocínio.
O enfoque desse assunto, partindo-se da teoria
de Piaget e seus colaboradores, sugere que as dificuldades com as tabuadas
sejam manifestações de outras, mais profundas, como a conservação de
quantidades e até mesmo do conhecimento lógico-matemático. Com efeito, o ensino
da Multiplicação pressupõe o domínio da noção de número. Como as crianças
chegam à escola geralmente sabendo contar, são feitas apenas atividades de
escrita de numerais e de correspondência número x quantidade. Nunes &
Bryant colocam:
... ser numeralizado significa pensar
matematicamente sobre situações. Para pensar matematicamente, precisamos
conhecer os sistemas matemáticos de representação que utilizaremos como
ferramenta. Estes sistemas devem ter sentido, ou seja, devem estar relacionados
às situações nas quais podem ser usados. E precisamos ser capazes de entender a
lógica destas situações, as invariáveis, para que possamos escolher as formas
apropriadas de matemática. Deste modo não é suficiente aprender procedimentos;
é necessário transformar estes procedimentos em ferramentas de pensamento
(NUNES & BRYANT,1997,p.31)
Sobre a construção do número Piaget e
Szeminska(1971) assinalam que cabe desconfiar das aparências verbais. A
aprendizagem verbal é inevitável, mas insuficiente, embora auxilie no processo.
A criança, em certo nível de desenvolvimento, considera iguais duas fileiras de
cinco fichas postas em visível correspondência termo a termo, mas as considera
desiguais, quando as extremidades de uma delas forem afastadas. Assim a
linguagem oral serve para individualizar os elementos, mas não implica a idéia
de que o todo seja igual à soma das partes, nem que se conserve, independente
da disposição espacial de seus componentes. Kamii alerta que: “O número é a
relação criada mentalmente por cada indivíduo. A criança progride na construção
do conhecimento lógico-matemático pela coordenação das relações simples que
anteriormente ela criou entre os objetos” (KAMII,1999,p.15)
Rangel afirma: É
somente agindo intensamente sobre os objetos, na tentativa de construir e
quantificar coleções, e coordenando essas ações em sua mente, que a criança
pode construir progressivamente a estrutura do número aritmetizado, concebendo
por convicção própria, em seu espírito, diferentes operações aditivas,
justificando-as pela “leitura da realidade” por ela manipulada, transformada e
operada (1992 p.29).
Para Piaget e seus colaboradores a construção do
sistema numérico completa-se com a descoberta das operações aditivas e
multiplicativas. E a correspondência termo a termo, mediante conservação da
equivalência, implica uma forma elementar da multiplicação. Pensando que as
experiências proporcionadas pela escola não contemplam esse entendimento e
dessa forma, reduzem o entendimento da estrutura multiplicativa a um conhecimento
de convenções e de regras arbitrárias e ainda, quando a escola proporciona
algum tipo de experiência, geralmente prioriza o resultado da ação e não o estabelecimento
de relações e suas coordenações, é que se optou por buscar através de uma
pesquisa fundamentos para essas reflexões diárias de uma professora que não vê
a matemática desvinculada do pensar, que vê as experiências concretas sendo o
fazer pelo fazer, é a regra pela regra e a compreensão do que é feito muitas
vezes não chega a se efetivar.
A CONSTITUIÇÃO DA
MULTIPLICAÇÃO
Há uma
prática comum nas salas de aula que apresenta a multiplicação somente do ponto
de vista de “adição de parcelas iguais”, no entanto, ainda que esta ideia
esteja correta e seja um dos aspectos básicos para a compreensão desta
operação, ela não pode ser difundida como única, apesar de correta. Multiplicar
tem ainda um importante papel na resolução de problemas de divisão, potência,
contagem, P.A, binômio de Newton, produto notável e etc., e é fundamental na
introdução das noções básicas de proporcionalidade, regra de três, percentagem,
muitas vezes esquecida pela escola nas séries finais do ensino fundamental.
Mas
antes de discutirmos as ideias que estão envolvidas no processo de formação do
conceito de multiplicação e as ferramentas que este conceito nos oferece na
construção de novos conhecimentos, vamos analisar brevemente as raízes dessa
prática restrita, que determina a multiplicação como “adição repetida de
parcelas”.
Todos
nós, de uma forma geral, aprendemos na escola que a tabuada de multiplicação é
simplesmente uma forma mais simplificada e rápida para resolver contas onde o
valor das parcelas é o mesmo. Se, durante sua formação, os professores não
receberem bases sólidas que os ajudem a avançar nesses conceitos primitivos,
que embora corretos sejam muito restritos, continuarão perpetuando ideias
insuficientes do ponto de vista da alfabetização matemática.
O fato
de ainda hoje estarmos discutindo a falta de amplitude na apresentação de
conceitos básicos da matemática só comprova que a escola tem reproduzido ideias
equivocadas que, na verdade, não são assim consideradas porque a concentração
do ensino de matemática em nossas escolas tem visado apenas o ensino e a
aprendizagem de contas e não de conceitos.
Falemos
então da primeira e mais difundida ideia da multiplicação, a “adição de
parcelas iguais”.
Toledo
(1997) afirma que inicialmente o professor deva demonstrar aos alunos por meio
da problematização da realidade em tarefas simples inseridas no contexto de
sala de aula essa noção básica da multiplicação. Pedir para que o aluno
organize os alunos em grupos com quantidades iguais pré-determinadas pelo
professor, ou ainda que separe uma quantidade exata de lápis para certo número de
alunos, são alguns exemplos.
Sabemos
que a construção dos conceitos matemáticos acontece gradativamente num processo
muitas vezes lento, por essa razão o professor deve respeitar esse pensamento
inicial dos alunos e permitir-lhes que discutam com os outros as possíveis
formas de representação dos problemas propostos. Depois disso, o professor
poderá apresentar uma nova forma, não como uma imposição, mas como uma
possibilidade de representação que facilita a resolução e o registro.
Demonstrar
aos alunos, por exemplo, que 2+2+2+2 (dois, mais dois, mais dois, mais dois),
também pode ser representado como 4x2 (quatro vezes a quantidade dois).
O grande
problema é que na tabuada tradicional este problema é efetuado da direita para
a esquerda com no árabe, por exemplo: (2x4 = 2+2+2+2 = 8 ß). Se tentarmos ler
isto no português ocorreria uma incoerência linguística. Leriamos: duas vezes
quatro, igual a dois mais dois, mais dois, mais dois igual a oito, o que causa
uma confusão na mente dos alunos, pois o que se vê não é duas vezes quatro e
sim quatro vezes o dois, somado quatro vezes. Logo a construção correta para
nós ocidentais seria: (à 4x2 = 2+2+2+ = 8), agora sim
o que se lê está de acordo com o calculo matemático.
O
professor deve ficar atento para não se adiantar e apresentar, utilizando ainda
o exemplo acima, a propriedade comutatividade da representação: 2x4 (duas vezes
a quantidade quatro) e confundir os aluno, afinal, a comutatividade não é uma
operação simples para as crianças, pois elas ainda não consolidaram a
conservação de quantidades. A sua não compreensão acarreta um problema muito
sério que interfere na forma de raciocinar e de falar de adolescentes este fato
se nos apresenta em Psicopedagogia como Discalculia.
Aliás,
devemos esclarecer que como estão em processo de compreensão da conservação de
quantidade, é possível que as propriedades da multiplicação representem
dificuldades para as crianças, mas o que não ocorrer mais com adolescentes.
Isso não quer dizer, no entanto, que os professores devam ignorar esse
conteúdo, e sim que sejam capazes de proporcionar mecanismos variados que
auxiliem neste processo. Sobre isso, a Proposta Curricular para o ensino de
Matemática: Fundamental (1992, p.31) destaca ainda, que “As propriedades da
multiplicação devem ser verificadas por meio de cálculos realizados pelos
próprios alunos. Não há necessidade, nesta fase, de enfatizar nomes de propriedades”.
Observe-se
aqui que calcular é essencialmente realizar os mecanismos de cálculo.
Quanto
às possíveis formas de trabalho com a multiplicação, bem como a utilização de
materiais concretos, o professor terá em suas mãos diversas oportunidades de
transformar o aprendizado em algo prazeroso. Para tanto, podem ser trabalhadas
situações de jogos em que os próprios alunos se organizem em grupos de
quantidades iguais de pessoas, ou que façam agrupamentos de materiais como
fichas, semente, etc. (SÃO PAULO, 1997, P.31).
Até
agora só discutimos a ideia básica da multiplicação de adição de parcelas
iguais, seria incoerente se não abordássemos aqui também a multiplicação
enquanto instrumento importante na resolução de problemas de contagem e também
a ideia de proporcionalidade, que são importantes para o desenvolvimento da
racionalidade humana.
Conforme
explica Toledo (1997, p.141), os problemas de contagem envolvem grandezas de
diversas naturezas e a solução é de um a terceira natureza. Na verdade estes
problemas de contagem envolvem raciocínio combinatório. Trata-se de resolver,
por exemplo, problemas do tipo “quantas vezes posso combinar três cores
diferentes de camisas com três cores diferentes de calças”. O objetivo no caso
do exemplo citado é saber quantas combinações serão possíveis a partir dos
dados expostos, análise combinatória.
Inicialmente
os alunos necessitarão de materiais concretos e representações no caderno com
desenhos para conseguir obter o resultado. Com esses recursos elas poderão
visualizar as combinações e anotá-las em seu caderno uma a uma. Dessa forma, o
aluno chegará gradativamente e naturalmente ao processo mais simples na busca
dos resultados que é a multiplicação das quantidades de variações de cada
grandeza.
Quanto à proporcionalidade, [...] constitui um dos temas de maior importância no ensino
de matemática, pois é a partir dela que se formam as noções de razão,
proporção, número racional, medida, regra de três, porcentagem, probabilidade
semelhança de figuras, escalas, entre outras. (TOLEDO, 1997, p.137).
A
proporcionalidade é questão central que envolve tanto frações como
multiplicação, está presente em todas as ciências e faz parte do dia-a-dia de
qualquer pessoa, seja no trabalho, seja em casa. O conceito, bastante simples
na sua origem, nada mais é do que a relação entre duas variáveis. Para
compreendê-lo, fazemos uma relação com a multiplicação, no entanto não é o que
tem feito a escola. No início da escolarização, as primeiras noções de
proporção deveriam aparecer junto com os conceitos de multiplicação. Mas, como
dito, muitos professores ensinam essa operação básica apenas como uma
"adição repetida" de parcelas, sem estabelecer as relações com a
noção de proporção. A adição repetida de parcelas não mostra o sentido de proporção
que existe por trás dessa conta. Depois, só na 5a série a proporção aparece,
num capítulo isolado.
A
relação entre multiplicação, proporcionalidade e racionalidade acontece da
seguinte maneira: Quando dizemos, por exemplo, que uma maçã custa 1,10 real,
temos uma relação entre duas variáveis, a quantidade de maçãs e o preço. Se
variar a quantidade de maçãs, o preço total varia proporcionalmente. No nível
mais simples, essa é a origem do raciocínio multiplicativo. Na prática, uma
criança resolve problemas desse tipo a partir dos 6 anos de idade. Cabe à
escola trabalhar com uma representação que ela consiga compreender e na qual
possa enxergar esse conceito de proporção.
A situação mais comum no raciocínio
multiplicativo encontrada no ensino da operação da multiplicação é a correspondência
um-para–muitos. Para Nunes & Bryant(1997) ao resolver essas questões o
aluno pode descobrir que a solução será a mesma se ele usar a adição ou a multiplicação,
porque se referirem a um tamanho de conjunto.
Entretanto, a situação multiplicativa requer uma
relação permanente entre dois conjuntos, e essa correspondência um–para–muitos
é a invariável nesse processo. E por assim ser é base para um conceito
matemático de suma importância, o conceito de proporção. Na adição mantem-se uma
diferença entre dois conjuntos somando o mesmo número em cada um deles, o que
não acontece na multiplicação onde somamos números diferentes em cada conjunto.
Em resumo, situações multiplicativas envolvendo
a correspondência um–para-muitos origina dois novos sentidos para o número, a
proporção e o fator escalar. A proporção é manifestada por um número que permanece
o mesmo quando o tamanho dos conjuntos varia e o fator escalar se refere ao
número de replicações, mantendo a proporção constante entre os conjuntos.
Um outro tipo de significado de número no
raciocínio multiplicativo pode ser encontrado em situações nas quais as
variáveis co-variam como uma consequência de convenção a qual “significa uma
“co-variação concordada” que pode ser alterada por novos acordos ou como uma
causa, entendida como “a referência ao impacto de uma variável sobre outra”(
Nunes & Bryant, 1999, p. 146)”.
Há alguns itens em comum entre as situações
multiplicativas e um considerado interessante. É perfeitamente possível
resolver problemas envolvendo duas variáveis e problemas com correspondência
um-para-muitos utilizando a mesma operação, replicação e o seu inverso. Nesse
entendimento o fator escalar ganha importante significado nas duas situações
multiplicativas.
Na situação de convenção por não se referir a
conjuntos, mas sim a valores sobre variáveis, ocorre uma grande diferença entre
raciocínio multiplicativo em uma correspondência um-para muitos e co-variação
de situações variáveis. As variáveis são contínuas ao passo que os conjuntos
são descontínuos, por seus elementos serem descontínuos. Portanto ao falar em
conjuntos vem à tona de imediato números inteiros, ao passo que nos referindo
ao contexto de variáveis surgem valores fracionais.
Na situação de convenção por não se referir a
conjuntos, mas sim a valores sobre variáveis, ocorre uma grande diferença entre
raciocínio multiplicativo em uma correspondência um-para muitos e co-variação
de situações variáveis. As variáveis são contínuas ao passo que os conjuntos
são descontínuos, por seus elementos serem descontínuos. Portanto ao falar em
conjuntos vem à tona de imediato números inteiros, ao passo que nos referindo
ao contexto de variáveis surgem valores fracionais.
Para as crianças não fica muito claro que a distribuição
está bem próxima da correspondência um-para-muitos e há razões convincentes
pelas quais elas tratam de forma bastante diferenciada. Uma delas é a ação da
distribuição ser o fato fundamental e óbvio da partição ao passo que a
correspondência um-para-muitos ser uma ação vista com outro significado, e
nesse momento as crianças ainda não construíram o significado de operação
inversa.
Há ligações entre o raciocínio aditivo e
multiplicativo, mas após reflexões minuciosas não se sustenta a ideia de que a
multiplicação é somente uma adição sucessiva. Em se tratando de raciocínio
multiplicativo surge a ideia de proporção, e um novo sentido de número, pois a
proporção não expressa um número em si, e sim uma relação entre os números. A
permanência de uma proporção fixa acontece com a operação de replicar ao invés
de adicionar elementos. E assim urge o fator escalar o qual é dado pelo número
de replicações. Nas situações multiplicativas em relação a duas ou mais
variáveis “um sentido de número novo emerge, um fator, função ou uma quantidade
intensiva conectando as duas variáveis” (NUNES & BRYANT, 1999.p.150).
No que se refere a estrutura multiplicativa
Vergnaud chama atenção para a classificação que faz. Para ele a multiplicação
confere a duas classes: Isoformismo de Medida e Produto de Medida, sendo que as
Proporções Múltiplas fazem parte da última classe.
Sobre Isoformismo de Medida Nehring (2001)
coloca:
Consiste de uma simples proporção direta ou, de
uma proporção simples, nas quais duas variáveis dependam linearmente uma da
outra, M1 e M2. Inclui pessoas e objetos; preço constante (bens e custos);
velocidade uniforme ou velocidade média constante (tempo e distância);
densidade constante em uma linha( árvores e distâncias). Estas grandezas podem
ser discretas ou contínuas (NEHRING,2001,p.77)
Para Vergnaud “a relação de multiplicação não é
uma relação binária, mas uma relação quaternária, conduzindo a estas relações
explicitadas anteriormente” (NEHRING,2001,p.82).
Gomes (1991) conceitua a multiplicação:
La multiplicación no es una suma reiterada
incluso interpretándola com tal. No es un caso particular de la suma. Es outra
operación que puede definirse, tal como aquí se há hecho, a partir de la suma.
Pero no se reduce a ella. En efecto, en la suma los dos números iniciales, aunque
pueden tener papeles diferentes, son cardinales de un conjunto de elementos concretos.
En la multiplicación no es asi (GOMES,1991,p.19).
Como se vê, essas teorias conseguem, de certo
modo, muito mais do que uma mera mudança de conteúdos, uma mudança de filosofia
de aprendizagem e de formação de conceitos, e assim, como não poderia deixar de
ser uma mudança na prática pedagógica, falando especialmente nos quatro
primeiros anos do Ensino Fundamental. Apontam para as mudanças urgentes não só
no que ensinar, mas, principalmente no como ensinar, no como organizar as
situações de ensino e de aprendizagem.
Assim, a escola é o lugar onde a intervenção
pedagógica intencional desencadeia o processo ensino–aprendizagem. O professor
tem o papel explícito de interferir no processo, diferentemente de situações em
que a criança aprende por contatos, mas situações em que possa intervir. agir e
construir conceitos.
METODOLOGIA
A partir
destas considerações realizadas nos parece que a forma como tem processado o
ensino de Matemática nas séries iniciais do Ensino Fundamental encontra-se
distante do fenômeno que aqui denominamos Matemátização.
Nesse
sentido, não seria exagero dizer que o ensino da Matemática na escola tem
iniciado um verdadeiro processo de isolamento, do aluno com o mundo real da
Matemática.
Pensando
a respeito desta problemática chegamos à concepção de Matemática que norteia o
ensino da disciplina na escola, ou seja, a ideia de uma ciência pronta acabada
e perfeita, o que é um absurdo por que a Matemática não é uma ciência como o
senso comum pensa, pois se fosse assim os números irracionais não existiriam.
Baseada
nessa concepção, a Matemática apresentada na escola e envolta por uma barreira
que a isola: das demais áreas de conhecimento, da vida, e principalmente, do
próprio aluno, afinal, gera um ensino, em geral, descontextualizado, asséptico
e pautado em questões de cunho sintático mais do que semântico, ou seja, mais
preocupado com regras de construção do fato matemático do que com seu próprio
significado.
Quando
defendemos que o trabalho com matemática nas séries iniciais deve ser pensado
na perspectiva da alfabetização, fundamentamos a importância da aquisição
significativa dos conceitos básicos e das propriedades mais abrangentes que
permitam ao aluno a aquisição de novos conceitos e habilidades mais avançadas.
O que
temos visto é que a aprendizagem dos conteúdos matemáticos básicos é, na
maioria das vezes, mecânico, memorístico, isto é, não significativo, sem
mecanização do cálculo.
Consequentemente
o domínio dos mesmos é frágil e restrito, pois se apoia em regras e algoritmos
que acarretam uma retenção literal e arbitrária, portanto, de pouca duração.
Valendo-se
de argumentos que caracterizam a Matemática como ciência que trata de verdades
infalíveis e imutáveis, a maioria dos professores mantém uma prática voltada
somente à transmissão de conhecimentos, que acaba por se tornar pouco
significativa para a criança.
São
poucos os que orientam sua prática de forma a apresentar a Matemática como
ciência dinâmica para incorporação de novos conhecimentos, flexível e maleável
às inter-relações entre os seus vários conceitos e os seus vários modos de
representação e, também, permeável aos problemas nos vários outros campos
científicos.
A
competência técnica do professor é um dos fatores determinantes da eficiência
do ensino, e está por sua vez, condicionado aos domínios dos conteúdos que ele
pretende ensinar. Enquanto professor de matemática se tem um compromisso com a
matemática, com um corpo organizado de conhecimentos que nos ajudam a desvelar
o mundo. Esse domínio de conteúdos deve ser entendido não apenas como domínio
do conhecimento, como também das atividades para lidar com esses conteúdos.
Falta, a
nosso ver, maior orientação psicopedagógico aos professores, de forma que eles
próprios esclareçam suas concepções em relação ao conhecimento matemático.
Nossas
investigações deixaram claro que, quando o professor reconhece a Matemática
enquanto processo histórico em permanente evolução, construído a partir de necessidades,
sejam elas cotidianas ou científicas, orienta seu trabalho para que seus alunos
assim também a reconheçam. “O professor não é apenas um comunicador, mas também
um modelo. Alguém que não veja nada de belo ou eficaz na Matemática não será
capaz de despertar nos outros o sentimento de entusiasmo inerente ao assunto”.
(BRUNER, 1972, p. 85).
Este
material foi elaborado com a finalidade de investigar, avaliar, analisar, mensurar
e intervir na aprendizagem do raciocínio lógico, ele pode ser aplicado desde
sujeitos alfabetizados até sujeitos com nível superior de instrução. Pode ser
utilizado na avaliação psicológica em qualquer ambiente de trabalho.
A
avaliação é um instrumento nas empresas de Gestão de Recursos Humanos que visa
identificar competências comportamentais, emocionais e cognitivas, necessárias
para o exercício de determinados cargos/funções.
Não utilizar o raciocínio lógico muitas vezes pode
nos levar a conclusões incorretas e a recorrer a falácias na argumentação, já
que, de modo prático, nos deixaremos influenciar pelo conteúdo das premissas e
por nossas crenças.
A Lógica, portanto, parte de uma dedução formal tal
que, postas duas proposições, chamadas premissas, delas, por inferência, se
tira uma terceira, chamada conclusão. Argumentar de forma lógica é diferente de
usar manipulação, coação ou persuasão; cada estratégia melhor se aplica a
contextos distintos e visa a finalidades específicas.
O presente projeto de pesquisa intervenção por
tratar-se de uma inter-relação entre conceitos teóricos e abordagens práticas
do cotidiano dos professores e alunos, caracteriza-se, inicialmente, por uma
pesquisa qualitativa, considerando que a mesma trabalha com o universo de
significados, motivos, aspirações, crenças, valores e atitudes, o que corresponde
a um espaço mais profundo das relações (CHIZZOTTI,2001). Pois para analisar se
a intervenção pedagógica dos professores em relação ao ensino da multiplicação
propicia o conhecimento do aluno é preciso compreender e refletir sobre as
relações e o contexto em que se dá a educação, por isso é fundamental ter a
abordagem qualitativa com fio condutor no processo de pesquisa interpretação,
análises dos dados e das informações perpassadas entre teoria e prática.
O que se tem visto é que existe entre os professores
uma visão simplista em relação à multiplicação, fazendo desta uma operação a
ser ensinada aos alunos após terem aprendido a adição e subtração, e necessariamente
anterior à operação da divisão e que não pode retornar para ser recuperada.
É um tanto complicado trabalhar a multiplicação
nesse entendimento, pois multiplicar é muito mais que calcular quantidades.
Estudos de Piaget apontam que para entender a multiplicação deve ocorrer uma transformação
significativa no pensamento das crianças. Para explorar o entendimento sobre a
operação da multiplicação e o raciocínio multiplicativo utilizaremos os
conceitos de Nunes & Bryant (1997) e após a classificação de Gerard
Vergnaud apresentada por Nehring (tese de Doutorado,2001).
A multiplicação envolve um novo entendimento em
relação a um conjunto de sentidos e invariáveis, os quais não são contemplados
no ensino da adição. E que de certa forma contrastam com situações de
raciocínio aditivo. O raciocínio aditivo remete a situações de reunir ou
separar objetos ou conjuntos de objetos. Nunes & Bryant (1997) afirmam:
O número, como medida
de conjuntos, envolve colocar objetos em um conjunto no qual o ponto de partida
é zero; o número como uma medida das transformações relaciona-se ao conjunto
que é unido ou separado de um outro conjunto; o número como uma medida de
relação estática relaciona-se ao conjunto que teria que ser unido e/ ou
separado de um outro a fim de formar dois conjuntos iguais em número (NUNES
& BRYANT,1997, p.143).
As situações que envolvem o raciocínio
multiplicativo são diferentes porque trabalham com correspondência um-para-muitos;
com relações entre variáveis; com situações que envolvem distribuição, divisão
e divisão pela metade.
ETAPAS METODOLÓGICAS
- Exposição do projeto para os alunos;
- Aplicação do Método da Tabuada Dinamizada,
como avaliação diagnóstica;
- Aplicação da Tabuada
Dinamizada e o Cotidiano;
- Explanação e
desenvolvimento da aprendizagem com exercício direcionado;
- Utilização de computadores
para realização das fazes subsequentes e jogos: softwares e on-line;
- Utilização de máquina
fotográfica para registrar todos os momentos da execução do projeto;
- Avaliação final do projeto;
CRONOGRAMA
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TAREFAS
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MESES 2015
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2016
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AGO
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SET
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OUT
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NOV
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DEZ
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Jan a Fev.
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Pesquisa Bibliográfica
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Pesquisa de campo
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Elaboração do projeto
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Tabulação dos dados
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Análise dos dados à luz dos teóricos
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Aplicação do projeto
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Avaliação do projeto
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REFERÊNCIAS:
Sala Ambiente Projeto Político Pedagógico e a
Organização do Ensino – Apresentação
Sala Ambiente Projeto Político Pedagógico e a
Organização do Ensino - Bases conceituais, políticas e filosóficas do
Planejamento Escolar - O Coordenador Pedagógico e o Planejamento Escolar
Sala Ambiente Realidade Escolar e Trabalho Pedagógico
- A Educação Básica e a Coordenação Pedagógica - O papel da coordenação
pedagógica
BRASIL, Secretaria da Educação Fundamental.
Parâmetros Curriculares Nacionais - Matemática. v.3. Rio de Janeiro: DP&A,
1997.
BRUNER, J. S. O processo da educação. 3 ed. São
Paulo: Nacional, 1972.
GÓMEZ-GRANELL, C. Aquisição da linguagem matemática:
símbolo e significado.
In: TEBEROSKY, A. e TOLCHINSKY, L. Além da
alfabetização: a aprendizagem fonológica, ortográfica, textual e matemática.
São Paulo: Ática, 2003, p. 257-295.
SÃO PAULO (Estado), Secretaria da Educação.
Coordenaria de Estudos e Normas Pedagógicas. Proposta Curricular para o ensino
de Matemática: 1o grau. 4 ed. São Paulo: SE/CENP, 1992.
TOLEDO, M. Didática da Matemática: como dois e dois:
a construção da Matemática. São Paulo: FTD, 1997.
REFERÊNCIAS
E LEVANTAMENTO BIBLIOGRÁFICO
BECKER, Fernando. Aprendizagem & Conhecimento Escolar. Pelotas:
EDUCAT, 2002. COLEÇÃO Epistemologia Genética e Educação
BICUDO, Maria Aparecida. Educação Matemática. São Paulo: Moraes
CARRAHER, Terezinha Nunes. Aprender Pensando. Rio de Janeiro: Vozes,
1986
CENTURIÓN, Marília. Conteúdo e Metodologia da Matemática Números e
Operações. 2 ed. São Paulo: Scipione, 1995
CHIZZOTTI, Antônio. Pesquisa em Ciências Humanas e Sociais. 5 ed. São
Paulo: Cortez, 2001.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: da Teoria à Prática. 4 ed.
Campinas - SP: Papirus, 1996.
GÓMEZ, Carlos Maza. Enseñanza de la Multiplicación y División:
Matemáticas Cultura y Aprendizaje. Espanha: Editorial Sintesis S.A.
KAMIL, Constance. A Criança e o Número.11 ed. Tradução: Regina A. Assis.
Campinas, SP: Papirus, 1990.
__________; DECLARK, Georgia. Reinventando a Aritmética: Implicações da
Teoria de Piaget. 18 ed.Campinas – SP: Papirus, 2003.
___________; LIVINGSTON, Sally Jones. Desvendando a Aritmética:
Implicações na Teoria de Piaget. 2 ed. Campinas - SP: Papirus, 1995.
____________; JOSEPH, Linda Leslie. Aritmética: Novas Perspectivas -
Implicações da Teoria de Piaget. 7 ed. Campinas - SP: Papirus, 1992
OBS. Este não é O projeto, este é um dos projetos dos
instrumentos de avaliação e de desenvolvimento da racionalidade dos alunos, que
poderá se estender
aos professores e à comunidade escolar, assim como para toda a sociedade
santarena.
